Question

10．设二次函数f（x）=mx²-nx（m≠0），已知f（x）的图象的对称轴为x=-1，且f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式e^f（x）＞${（\frac{1}{e}）}^{2-tx}$在x∈R时恒成立（其中e为自然对数的底数），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用对称轴方程求得n=-2m；再利用条件求出m和n之间的另一关系式，联立即可求 f（x）的解析式；
（2）先利用e＞1把原不等式转化为$\frac{1}{2}$x²+x＞tx-2在x∈R时恒成立（其中e为自然对数的底数），再分类讨论，根据基本不等式即可求出t的范围．

解答 解：（1）∵由f（x）=mx²-nx（a≠0）的对称轴方程是x=-1，
∴n=-2m；
∵函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}-nx}\\{y=x}\end{array}\right.$有且只有一解，
即mx²-（n+1）x=0有两个相同的实根；
故△=（n+1）²=0，
解得n=-1，m=$\frac{1}{2}$
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵e＞1，不等式e^f（x）＞${（\frac{1}{e}）}^{2-tx}$在x∈R时恒成立
∴f（x）＞tx-2．
∵$\frac{1}{2}$x²+x＞tx-2在x∈R时恒成立，
∴tx＜$\frac{1}{2}$x²+x+2，
当x＞0时，t＜$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1，
∵$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{2}{x}}$+1=3，当且仅当x=2时取等号，
∴t＜3，
当x＜0，t＞$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1，
∵$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1=-（-$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{x}$）+1≤-2+1=-1，当且仅当x=-2时取等号，
∴t＞-1，
当x=0时，恒成立，
综上所述t的取值范围为（-1，3）．

点评 本题考查了二次函数解析式的求法以及函数恒成立问题．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．