Question

15．已知幂函数f（x）=$（m-1）^{2}{x}^{{m}^{2}-4m+2}$在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x-k，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）当x∈（1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，
（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意幂函数f（x）=$（m-1）^{2}{x}^{{m}^{2}-4m+2}$得：（m-1）²=1，
解得m=0或m=2，
当m=2时，f（x）=x^-2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，
∴A=[1，4]，B=[2-k，4-k]，
∵A∪B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-k≥1}\\{4-k≤4}\end{array}\right.$解得，0≤k≤1，
故实数K的取值范围为[0，1]．

点评 本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．