Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{6}$x²+ax+sinx（x∈（0，$\frac{π}{2}$）），在定义域内单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{π}{6}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{π}{2}$]
• C． （-∞，0]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，利用函数的导数判断函数的最值，求解即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{3}x+a+cosx$，（x∈（0，$\frac{π}{2}$）），
依题意f'（x）≥0 在x∈（0，$\frac{π}{2}$），时恒成立，
即$\frac{1}{3}x+a+cosx$≥0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立．
则a≥$-\frac{1}{3}x-cosx$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
即a≥[$-\frac{1}{3}x-cosx$]_max，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
令g（x）=$-\frac{1}{3}x-cosx$，
可得g′（x）=-$\frac{1}{3}$+sinx，sinx∈（0，$\frac{1}{3}$）函数是减函数，sinx∈（$\frac{1}{3}，1$）
函数是增函数，因为cosx=1时，g（x）=-1，cosx=0时，g（x）=-$\frac{π}{6}$．
∴a的取值范围是[-$\frac{π}{6}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．