Question

20．已知f （x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（4x+2）-5，x≥0\\ ln（2-4x）-5，x＜0\end{array}\right.$，若关于 x 的不等式f（ax-2）＞f（x-3）在[4，5]上有解，则实数a的取值范围是（$\frac{4}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得当4≤x≤5时，f（ax-2）＞f（x-3）能成立，结合函数的单调性，可得4ax-6＞4x-10，分类讨论求得实数a的取值范围．

解答 解：根据函数f（x）为偶函数，在（0，+∞）上为增函数，
由f（ax-2）＞f（x-3）在[4，5]上有解，
可得当4≤x≤5时，f（ax-2）＞f（x-3）能成立，
即ln[4（ax-2）+2]-5＞ln[4（x-3）+2]-5
能成立，
即ln（4ax-6）＞ln（4x-10）能成立，
∴4ax-6＞4x-10，即（1-a）x＜1，
∴1-a≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{（1-a）•4＜1}\\{（1-a）•5＜1}\end{array}\right.$，
求得a≥1，或 $\frac{4}{5}$＜a＜1，
故答案为：（$\frac{4}{5}$，+∞）．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性，函数的能成立问题，属于中档题．