Question

8．如图所示，△ABC中，直线PQ与边AB、BC及AC的延长线分别交于点P、M、Q，$\overrightarrow{BM}$=3$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{t}{1-t}$$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ}$=s$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{1}{t}$+$\frac{3}{s}$=4．

Answer 1

分析 如图$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4t}\overrightarrow{AP}+\frac{3}{4s}\overrightarrow{AQ}$
由P，M，Q三点共线，可得$\frac{1}{4t}+\frac{3}{4s}=1$，即可．

解答 解：如图$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{t}{1-t}$$\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$
又∵$\overrightarrow{AQ}$=s$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4t}\overrightarrow{AP}+\frac{3}{4s}\overrightarrow{AQ}$
∵P，M，Q三点共线，∴$\frac{1}{4t}+\frac{3}{4s}=1$，
∴$\frac{1}{t}+\frac{3}{s}=4$．
故答案为：4

点评 本题考查了向量的基本定理，三点共线的向量表达式的应用，属于中档题．