Question

已知x，y满足约束条件

x-y-1≤0 2x-y-3≥0

，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2

5

时，a²+b²的最小值为（　　）

• A、5
• B、4
• C、

  5

• D、2

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b-2

5

=0．a²+b²的几何意义为坐标原点到直线2a+b-2

5

=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．

解答： 解：由约束条件

x-y-1≤0 2x-y-3≥0

作可行域如图，

联立

x-y-1=0 2x-y-3=0

，解得：A（2，1）．
化目标函数为直线方程得：y=-

a

b

x+

z

b

（b＞0）．
由图可知，当直线y=-

a

b

x+

z

b

过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．
∴2a+b=2

5

．
即2a+b-2

5

=0．
则a²+b²的最小值为(

-2 5

5

)2=4．
故选：B．

点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．