Question

【题目】如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点． （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE；
（Ⅲ）若AC=4，求几何体C﹣BDF的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取DA的中点G连结FG，GE，
∵F为AC的中点，∴ ，
又∵DC∥BE，CD=2BE，∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四边形BFGE为平行四边形，∴BF∥EG，
∵EG平面ADE，BF平面ADE，
∴BF∥平面ADE
解：（Ⅱ）取DE的中点H，连AH，CH，

∵△ADE为等边三角形，∴AH⊥DE，且 ，
在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴ ，
∴AC2=AH2+HC2 ， 即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，
∴AH⊥平面BCDE，∵AH平面ADE，
∴平面ADE⊥BCDE…（8分）
（Ⅲ） = =2，
∵F是AC中点，
∴几何体C﹣BDF的体积
【解析】（Ⅰ）取DA的中点G连结FG，GE，推导出四边形BFGE为平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明BF∥平面ADE．（Ⅱ）取DE的中点H，连AH，CH，推导出AH⊥DE，AH⊥HC，从而AH⊥平面BCDE，由此能证明平面ADE⊥BCDE．（Ⅲ）几何体C﹣BDF的体积 ，由此能求出结果．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．