Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C= ．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于 ，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵c=2，C= ，c2=a2+b2﹣2abcosC
∴a2+b2﹣ab=4，
又∵△ABC的面积等于 ，
∴ ，
∴ab=4
联立方程组 ，解得a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时， ， ， ， ，求得此时
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
联立方程组 解得 ， ．
所以△ABC的面积
综上知△ABC的面积
【解析】（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过 absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过 absinC求出三角形的面积．