Question

甲乙两人玩射击游戏，甲命中目标的概率为

2

3

，乙命中目标的概率为t，t∈（0，1），规定：每人击3次，第一次命中得4分，第二次命中得2分，第三次命中得1分，未命中得0分，甲乙命中与否相互独立
（1）求甲总得分的期望
（2）求甲命中次数比乙多，但总分比乙少的概率p（t），并求p（t）的最大值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得，甲得分的X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出甲总得分的期望EX．
（2）甲命中次数比乙多，但总分比乙少，甲第一次不中，后两次全中，乙第一次中，后两次全不中，由此能求出相应的概率p（t），并由导数性质能求出p（t）的最大值．

解答： 解：（1）由已知得，甲得分的X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，
P（X=0）=（

1

3

）³=

1

27

，
P（X=1）=（

1

3

）²×

2

3

=

2

27

，
P（X=2）=

1

3

×

2

3

×

1

3

=

2

27

，
P（X=3）=

1

3

×

2

3

×

2

3

=

4

27

，
P（X=4）=

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

，
P（X=5）=

2

3

×

1

3

×

2

3

=

4

27

，
P（X=6）=（

2

3

）²×

1

3

=

4

27

，
P（X=7）=（

2

3

）³=

8

27

，
∴甲总得分的期望EX=0×

4

27

+1×

2

27

+2×

2

27

+3×

4

27

+5×

4

27

+6×

4

27

+7×

8

27

=

118

27

．
（2）∵甲命中次数比乙多，但总分比乙少，
∴甲第一次不中，后两次全中，乙第一次中，后两次全不中，
∴P（t）=

1

3

×(

2

3

)2×t（1-t）²=

4

27

(t3-2t2+t)．
∵t∈（0，1），P（t）=

4

27

(t3-2t2+t)．
∴P′（t）=

4

9

t2-

16

27

t+

4

27

，
由P′（t）=0，得t=

1

3

或t=1（舍），
t∈(0，

1

3

)时，P′（t）＞0，t∈（

1

3

，1）时，P′（t）＜0，
∴t=

1

3

时，[P（t）]_max=P（

1

3

）=

4

27

(

1

27

-

2

9

+

1

3

)=

4

81

．
∴p（t）的最大值为

4

81

．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率及概率的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．