Question

【题目】已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，结合分段函数的性质进行转化求解即可．

函数0，

得|x+a|a＝3，

设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，

则函数g（x），

不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，

当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，

得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，

解得x＝﹣1，或x＝4；

若 ①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时 x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，

由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．

若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，

所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．

得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，

又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，

解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．

③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；

综上所述，a或﹣1．