Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（x+1），x＞0\\-{x^2}+2x，x≤0\end{array}$，则不等式f（2x-1）＞f（2-x）的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-1，2）
• C． （1，2）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 方法一，先判断出函数f（x）在R上为增函数，即可解不等式可得，
方法二：分别将f（x）换成两段上的解析式，解不等式即可．

解答 解：方法一：当x＞0时，f（x）=ln（x+1），函数为增函数，此时f（x）＞f（0）=0，
当x≤0时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，函数为增函数，此时f（x）≤f（0）=1，
∴函数f（x）在R上为增函数，
∵不等式f（2x-1）＞f（2-x），
∴2x-1＞2-x，
解得x＜1，
方法二：
当x＞0时，f（x）=ln（x+1），函数为增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x-1＞0}\\{2-x＞0}\\{2x-1＞2-x}\end{array}\right.$，解得1＜x＜2，
当x≤0时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，函数为增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{2x-1≤0}\\{2-x≤0}\\{2x-1＞2-x}\end{array}\right.$，解得x≤2，
综上所述不等式的解集为（1，+∞），
故选：D

点评 本题考查了以分段函数为背景的不等式的解法；关键是利用分段函数得到两个不等式分别解之，然后取并集．