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如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,的中点,平面.

(Ⅰ)证明:平面平面
(Ⅱ)若,试求异面直线所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).

解析试题分析:(Ⅰ)证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题,即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面.然后将线面垂直问题转化为线线垂直问题,即该直线与平面中的两条相交直线垂直.在本题中,我们选取的是平面中的直线,因为易知,那么只需要在平面再找一条直线垂直于即可.因为底面是平行四边形,且,,,的中点,所以可以证,从而得证;(Ⅱ)求异面直线所成角,一般将两条异面直线平移到一个公共点上以便求出其夹角.这里,我们选择将直线平移至点,所以需要取的中点,连接,易知即所求,将其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通过建立空间直角坐标系用向量来解决.其中前两问又可以用向量来解决.第一问的面面垂直可以用两个平面的法向量垂直来证明,即法向量的数量积为0,第二问用向量的夹角公式直接解出(需注意异面直线角的范围).二面角同样可以用两个半平面的法向量的夹角解决,不过这里要注意所求的二面角是锐角还是钝角,从而选择是法向量夹角还是其补角为所求.
试题解析:(Ⅰ)依题意,,
所以是正三角形,
 
所以,     2分
因为平面,平面,所以     3分
因为,所以平面     4分
因为平面,所以平面平面      5分
(Ⅱ)取的中点,连接,连接,则
所以是异面直线所成的角      7分
因为,,
所以,, 
所以     9分
解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立右手空间直角坐标系.



(Ⅰ)设平面的一个法向量为

,取

练习册系列答案
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如图所示,四棱锥中,底面是个边长为的正方形,侧棱底面,且的中点.

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(Ⅱ)求证:平面
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(Ⅰ)求证: 平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,,的中点.

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(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求证:平面平面
(Ⅲ)求三棱锥的体积.

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