如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题,即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面.然后将线面垂直问题转化为线线垂直问题,即该直线与平面中的两条相交直线垂直.在本题中,我们选取的是平面中的直线,因为易知,那么只需要在平面再找一条直线垂直于即可.因为底面是平行四边形,且,,,为的中点,所以可以证,从而得证;(Ⅱ)求异面直线所成角,一般将两条异面直线平移到一个公共点上以便求出其夹角.这里,我们选择将直线平移至点,所以需要取的中点,连接,易知即所求,将其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通过建立空间直角坐标系用向量来解决.其中前两问又可以用向量来解决.第一问的面面垂直可以用两个平面的法向量垂直来证明,即法向量的数量积为0,第二问用向量的夹角公式直接解出(需注意异面直线角的范围).二面角同样可以用两个半平面的法向量的夹角解决,不过这里要注意所求的二面角是锐角还是钝角,从而选择是法向量夹角还是其补角为所求.
试题解析:(Ⅰ)依题意,,
所以是正三角形,
又
所以, 2分
因为平面,平面,所以 3分
因为,所以平面 4分
因为平面,所以平面平面 5分
(Ⅱ)取的中点,连接、,连接,则
所以是异面直线与所成的角 7分
因为,,
所以,,
所以 9分
解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立右手空间直角坐标系.
设
则,,
(Ⅰ)设平面的一个法向量为,
则
,取
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥的底面是直角梯形,,,和是两个边长为的正三角形,,为的中点,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
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