Question

10．某同学在研究函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）时，得到一下四个结论：
①f（x）的值域是（-1，1）；
②对任意x∈R，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
③若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），则对任意的n∈N^*，f_n（x）=$\frac{x}{1+n|x|}$；
④对任意的x∈[-1，1]，若函数f（x）≤t²-2at+$\frac{1}{2}$恒成立，则当a∈[-1，1]时，t≤-2或t≥2，
其中正确的结论是①②③（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 ①分x＞0与x≤0讨论，可得函数f（x）的值域是（-1，1），从而可判断①；
②由①的分析可知，函数在每一分段上单调递增，从而可判断②；
③依题意，可求得f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{1+2|x|}$，f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{1+3|x|}$…，利用归纳法可判断③；
④利用表达式恒成立转化函数最值恒成立，利用变量转化法进行i区就即可．

解答 解：∵$f（-x）=\frac{-x}{1+|x|}=-f（x）$，∴函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{x}{1+x}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$∈（0，1）
知当x＜0时，f（x）∈（-1，0）x=0时，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1），即函数的值域为（-1，1）故①正确；
②若对任意x∈R，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则等价为函数f（x）为增函数，
∵当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$，则y=$\frac{1}{x}$为减函数，y=1+$\frac{1}{x}$为减函数，则f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，故②正确，
③∵f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
∴f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{\frac{x}{1+|x|}}{1+\left|\frac{x}{1+|x|}\right|}$=$\frac{x}{1+2|x|}$，f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{\frac{x}{1+2|x|}}{1+\left|\frac{x}{1+2|x|}\right|}$=$\frac{x}{1+3|x|}$…
∴f_n（x）=$\frac{x}{1+n|x|}$对任意的n∈N^*恒成立，即③正确；
④对任意的x∈[-1，1]，f（x）为增函数，∴函数的最大值为f（1）=$\frac{1}{2}$，
要使函数f（x）≤t²-2at+$\frac{1}{2}$恒成立，
即t²-2at+$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，即t²-2at≥0，
设h（a）=-2ta+t²，
若a∈[-1，1]时，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（1）=-2t+{t}^{2}≥0}\\{h（-1）=2t+{t}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{t≥2或t≤0}\\{t≥0或t≤-2}\end{array}\right.$，即
h（1）=-2ta+t²，t≤-2或t=0，故④错误，
故答案为：①②③

点评 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的解析式、单调性及值域，考查归纳法与推理运算能力，④中，分析f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）为奇函数是关键，属于难题．