Question

19．已知函数$f（x）=cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得结论．
（Ⅱ）令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，求得x的范围，可得函数的单调减区间，再结合$x∈[0，\frac{π}{2}]$，得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$$f（x）=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}）$，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，故$T=\frac{2π}{|ω|}=\frac{2π}{2}=π$，即f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
即f（x）的递减区间为：$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$．
再结合$x∈[0，\frac{π}{2}]$，由$[0，\frac{π}{2}]∩[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]$=$[\frac{π}{6}，+\frac{π}{2}]$，k∈Z，
所以f（x）的递减区间为$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．