Question

7．如图在矩形ABCD，AB=1，AD=$\sqrt{2}$，在矩形区域内任取一点P，使得该点落在阴影部分内的概率为$\frac{\sqrt{2}π}{6}-\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 以AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立坐标系，求出公共弦的方程，圆心A到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{8+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得阴影部分弧所对的圆心角，即可求出点落在阴影部分内的概率．

解答 解：以AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立坐标系，则
圆A的方程为x²+y²=1，圆C的方程为（x-$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1，
两方程相减可得2$\sqrt{2}$x+2y-3=0，
圆心A到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{8+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴阴影部分弧所对的圆心角为$\frac{π}{3}$，
∴S_阴影=2（$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵矩形的面积为$\sqrt{2}$，
∴该点落在阴影部分内的概率为$\frac{\sqrt{2}π}{6}-\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}π}{6}-\frac{\sqrt{6}}{4}$

点评 本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定阴影部分的面积是关键．