Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，短轴长为．

求椭圆C的标准方程；

过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：原点O不在以MN为直径的圆上．

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

由题意得，，又，求解得到a，b，c的值，代入椭圆方程即可求解．

直线l过抛物线C的焦点，故设直线MN的方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，假设原点O在以MN为直径的圆上，则，即，即，代入计算可得，而上述关于m的方程显然没有实数解，故原点O不在以MN为直径的圆上

解：由已知，得，，

又，

，，

椭圆C的标准方程为，

证明：由得，

易知直线MN不能平行于x轴，

故设直线MN的方程为，设、，

联立方程得，

，

若原点O在以MN为直径的圆上，则，

即，即，

又

，

，

而上述关于m的方程显然没有实数解．故原点O不在以MN为直径的圆上．