【题目】如图,已知椭圆的离心率为
,右准线方程为
,
、
分别是椭圆
的左、右顶点,过右焦点
且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)记、
的面积分别为
、
,若
,求
的值;
(3)设线段的中点为
,直线
与右准线相交于点
,记直线
、
、
的斜率分别为
、
、
,求
的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设椭圆的焦距为,根据题意列出关于
、
的方程组,进而可求出
的值,由此可得出椭圆
的标准方程;
(2)设点,
,根据题中三角形面积的比值,可得出
,再由点
、
在椭圆上,可求出点
的坐标,即可求出直线
的斜率;
(3)依题意可知,点、
在椭圆
上,根据点差法、三点共线、直线方程、斜率公式,化简整理即可得出
的值.
(1)设椭圆的焦距为,
依题意,,且
,解得
,
,故
.
所以椭圆的标准方程为
;
(2)设点,
.
据题意,,即
,整理可得
,所以
.
代入坐标,可得,即
.
又点、
在椭圆
上,所以
,解得
.
所以直线的斜率
;
(3)依题意,点、
在椭圆
上,
所以,两式相减,得
即,所以
,即
,
所以直线的方程为
,令
,得
,即
.
所以.
又直线的方程为
,与椭圆
联立方程组
,
整理得,
所以,得
,
.
所以点的坐标为
.
同理,点的坐标为
.
又点、
、
三点共线,
所以,整理得
,
依题意,,
,故
.
由可得,
,即
.
所以.
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【题目】如图,∠C=,
,M,N分别是BC,AB的中点,将△BMN沿直线MN折起,使二面角B'-MN-B的大小为
,则B'N与平面ABC所成角的正切值是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】九章算术
给出求羡除体积的“术”是:“并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一”,其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长,“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离,“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离,用现代语言描述:在羡除
中,
,
,
,
,两条平行线
与
间的距离为h,直线
到平面
的距离为
,则该羡除的体积为
已知某羡除的三视图如图所示,则该羡除的体积为
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆C:的离心率为
,短轴长为
.
求椭圆C的标准方程;
过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于M,N两点,证明:原点O不在以MN为直径的圆上.
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【题目】在平面直角坐标系中,设点,
,
(其中
表示a、b中的较大数)为
、
两点的“切比雪夫距离”.
(1)若,Q为直线
上动点,求P、Q两点“切比雪夫距离”的最小值;
(2)定点,动点
满足
,请求出P点所在的曲线所围成图形的面积.
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【题目】已知圆:
,点
,
.
(1)若线段的中垂线与圆
相切,求实数
的值;
(2)过直线上的点
引圆
的两条切线,切点为
,若
,则称点
为“好点”. 若直线
上有且只有两个“好点”,求实数
的取值范围.
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【题目】已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
321 421 292 925 274 632 802 478 598 663
531 297 396 021 406 318 235 113 507 965
据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率为( )
A.0.30B.0.35C.0.40D.0.45
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