Question

2．已知函数f（x）=$\frac{x^2}{4}$-ax+cosx（a∈R），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；
（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据偶函数的定义，f（-x）=f（x）恒成立，求出a的值；
（Ⅱ）利用导数大于0或小于0，判断函数f（x）是单调增函数单调减函数即可．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，
所以f（-x）=$\frac{{（-x）}^{2}}{4}$-a（-x）+cos（-x）
=$\frac{{x}^{2}}{4}$+ax+cosx
=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{4}$-ax+cosx恒成立，
所以a=0；       …（4分）
（Ⅱ）由题意可知$f'（x）=\frac{x}{2}-sinx-a$，
设$g（x）=\frac{x}{2}-sinx-a$，
则$g'（x）=\frac{1}{2}-cosx$；注意到$x∈（0，\frac{π}{2}）$，a＞0；
由g'（x）＜0，即$\frac{1}{2}-cosx＜0$，解得$0＜x＜\frac{π}{3}$；
由g'（x）＞0，即$\frac{1}{2}-cosx＞0$，解得$\frac{π}{3}＜x＜\frac{π}{2}$；
所以g（x）在$（0，\frac{π}{3}）$上单调递减，$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$上单调递增；
所以当$x∈（0，\frac{π}{3}）$，g（x）＜g（0）=0-a＜0，
所以f（x）在$x∈（0，\frac{π}{3}）$单调递减，
当$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$，$g（x）＜g（\frac{π}{2}）=\frac{π}{4}-1-a＜0$，
所以f（x）在$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$单调递减，
所以当a＞0时，函数f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递减．…（13分）

点评 本题考查了函数奇偶性的定义与应用问题，也考查了利用导数判断函数的增减性问题，是综合性问题．