Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．
（II）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值．
（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设

PF

=λ

PB

，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=

1

3

PB，使得PB⊥平面DEF．

解答： （I）证明：以D为坐标原点，
分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

PA

=（2，0，-2），

DE

=（0，1，1），

DB

=(2，2，0)，
设

n

=(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，
则由

n1 • DE =0 n1 • DB =0

，得

y+z=0 2x+2y=0

，
取y=-1，得

n1

=(1，-1，1)．
∵

PA

•

n1

=2-2=0，∴

PA

•

n1

，
又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，
（II）解：由（Ⅰ）知

n1

=（1，-1，1）是平面BDE的一个法向量，
又

n2

=

DA

=（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．
设二面角B-DE-C的平面角为θ，
∴cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

2

3 ×2

=

3

3

．
故二面角B-DE-C的余弦值为

3

3

．
（Ⅲ）解：∵

PB

=（2，2，-2），

DE

=（0，1，1），
∴

PB

•

DE

=0，∴PB⊥DE，
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设

PF

=λ

PB

，（0＜λ∠1），
则

PF

=（2λ，2λ，-2λ），

DF

=

DP

+

PF

=（2λ，2λ，2-2λ），
由

PF

•

DF

=0，得4λ²+4λ²-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=

1

3

∈（0，1），此时PF=

1

3

PB，
即在棱PB上存在点F，PF=

1

3

PB，使得PB⊥平面DEF．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角余弦值的求法，考查满足直线与平面垂直的点的位置的确定，解题时要注意空间思维能力的培养．