Question

19．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
（1）共有几种放法？
（2）恰有1个空盒，有几种放法？
（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得4个不同的球，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，恰有1个空盒，即将4个小球放入3个小盒中，且三个盒子都不空；分2步进行分析：先从4个小球中取2个放在一起，看成一个整体，再将其与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2种情况讨论：①、1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，②2个盒子中各放2个小球，每种情况下先分组，放进其中2个盒子中，由分步计数原理可得每种情况下的放法数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解　（1）根据题意，4个不同的球，4个不同的盒子，
每个小球有4种放法，则4个小球共有4×4×4×4=4⁴=256种放法；
（2）根据题意，恰有1个空盒，即将4个小球放入3个小盒中，且三个盒子都不空；
先从4个小球中取2个放在一起，有${C}_{4}^{2}$=6种不同的取法，
再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有${A}_{4}^{3}$=24种不同的放法．
根据分步乘法计数原理，不同的放法共有6×24=144种．
（3）根据题意，恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，
有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，
先把小球分成2组，有C₄³=4种分组方法，
再放到2个盒中有A₄²=12种放法，
则此时有4×12=48种放法；
第二类，2个盒子中各放2个小球，
先把小球分成2组，有$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=3种分组方法，
再放到2个盒中有A₄²=12种放法，
则此时有3×12=36种放法；
故恰有2个盒子不放球的方法共有48+36=84种．

点评 本题考查排列、组合的综合应用，注意分析题意，进行分类讨论或分步分析．