Question

14．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x$有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．
（Ⅰ）求直线MN的方程；
（Ⅱ）证明：线段MN与曲线y=f（x）有且只有一个异于M、N的公共点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数令f'（x）=x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，判断函数的单调性求出MN，然后求解直线方程．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）$-（{-\frac{8}{3}x-1}）$=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-$$\frac{1}{3}x+1$，推出线段MN与曲线y=f（x）的公共点即g（x）在区间[-1，3]上的零点．令$g'（x）={x^2}-2x-\frac{1}{3}$=0，通过判断函数的极值判断函数的单调性，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）令f'（x）=x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
且f（x）在区间（-∞，-1），（3，+∞）上单调递增，在区间（-1，3）上单调递减，
∴x₁=-1，$f（{-1}）=\frac{5}{3}$，x₂=3，f（3）=-9，即$M（{-1，\frac{5}{3}}）$，N（3，-9），
∴直线MN的方程为$y+9=\frac{{\frac{5}{3}+9}}{-1-3}（{x-3}）$，化简得$y=-\frac{8}{3}x-1$．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）$-（{-\frac{8}{3}x-1}）$=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-$$\frac{1}{3}x+1$，
则线段MN与曲线y=f（x）的公共点即g（x）在区间[-1，3]上的零点．
令$g'（x）={x^2}-2x-\frac{1}{3}$=0，解得${x_3}=1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，${x_4}=1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
且g（x）在区间$[{-1，1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$，$（{1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，3}]$上单调递增，
在区间$（{1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$上单调递减．
∴由$1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜0＜2$$＜1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$可得$g（{1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）＞g（0）$=1＞g（2）=-1$＞g（{1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$，
即$g（{1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）＞0$，$g（{1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）＜0$，∴g（x）在区间$（{1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$上有且仅有有一个零点．
$当-1＜x≤1-\frac{2\sqrt{3}}{3}时$，有0=g（-1）＜g（x），∴g（x）在$（{-1，1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$上无零点；
当$1+\frac{2\sqrt{3}}{3}≤x＜3$时，有g（x）＜g（3）=0，∴g（x）在$[{1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，3}）$上无零点；
综上，g（x）在区间（-1，3）上有且仅有一个零点．
所以线段MN与曲线y=f（x）有且只有一个异于M、N的公共点．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．