Question

9．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F，点B，C分别是该椭圆的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．记直线BM，BP的斜率分别为k₁、k₂
（1）当直线PM过点F时，求$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值；
（2）求|k₁|+|k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$（a＞1）的长轴长是短轴长的2倍，得a=2，当直线PM过点F时，则直线PM的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-1$，从而得到P（-$\sqrt{3}$，-2），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}\end{array}\right.$，得M（$\frac{8\sqrt{3}}{7}，\frac{1}{7}$），由此能求出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值．
（2）设P（m，-2），且m≠0，则直线PM的方程为y=-$\frac{1}{m}x-1$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{m}x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+$\frac{4}{{m}^{2}}$）x²+$\frac{8}{m}x$=0，解得M（-$\frac{8m}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$），从而得到k₁=$\frac{m}{4}$，k₂=-$\frac{3}{m}$，由此能求出|k₁|+|k₂|的最小值．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$（a＞1）的长轴长是短轴长的2倍，得a=2，
由题意B（0，1），C（0，-1），焦点F（$\sqrt{3}$，0），
当直线PM过点F时，则直线PM的方程为$\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{y}{-1}=1$，即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-1$，
令y=-2，得x=-$\sqrt{3}$，则P（-$\sqrt{3}$，-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8\sqrt{3}}{7}}\\{y=\frac{1}{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍），即M（$\frac{8\sqrt{3}}{7}，\frac{1}{7}$），
∵$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，3$），$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{15\sqrt{3}}{7}，\frac{15}{7}$），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$=$\frac{45}{7}+\frac{45}{7}$=$\frac{90}{7}$．
（2）设P（m，-2），且m≠0，则直线PM的斜率k=$\frac{-1-（-2）}{0-m}=-\frac{1}{m}$，
则直线PM的方程为y=-$\frac{1}{m}x-1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{m}x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化简，得（1+$\frac{4}{{m}^{2}}$）x²+$\frac{8}{m}x$=0，解得M（-$\frac{8m}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$），
∴k₁=$\frac{\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}+4}-1}{-\frac{8m}{{m}^{2}+4}}=\frac{-2{m}^{2}}{-8m}$=$\frac{m}{4}$，${k}_{2}=\frac{1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{3}{m}$，
∴|k₁|+|k₂|=|-$\frac{3}{m}$|+|$\frac{m}{4}$|≥2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
∴|k₁|+|k₂|的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的求法，考查两直线的斜率的绝对值的和的最小值的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．