Question

9．若数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+n$，则$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}$=2n²+2n．

Answer 1

分析 利用已知条件求出通项公式，然后化简所求的表达式的通项公式求解数列的和即可．

解答 解：数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+n$，a₁=4．
可得$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n-1}}=（n-1）^{2}+（n-1）$，
两式相减可得：$\sqrt{{a}_{n}}=2n$，即a_n=4n²，
$\frac{{a}_{n}}{n}$=4n，
则$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}$=4（1+2+3+…+n）=2n²+2n．
当n=1时，命题也成立．
故答案为：2n²+2n．

点评 本题考查数列通项公式的应用，数列求和，考查计算能力．