Question

18．已知函数$f（x）=lnx-\frac{{m（{x+n}）}}{x+1}$（m＞0，n∈R）在（0，+∞）上不单调，若m-n＞λ恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）

• A． [3，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，3]
• D． （-∞，4]

Answer 1

分析 f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m（x+1）-m（x+n）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（mn-m+2）x+1}{x（x+1）^{2}}$．由于函数$f（x）=lnx-\frac{{m（{x+n}）}}{x+1}$（m＞0，n∈R）在（0，+∞）上不单调，可得函数f（x）在（0，+∞）上存在极值点．因此x²+（mn-m+2）x+1=0有不相等的正的实数根．m-mn-2＞0，△＞0，解出即可得出．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m（x+1）-m（x+n）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（mn-m+2）x+1}{x（x+1）^{2}}$．
∵函数$f（x）=lnx-\frac{{m（{x+n}）}}{x+1}$（m＞0，n∈R）在（0，+∞）上不单调，
∴函数f（x）在（0，+∞）上存在极值点．
∴x²+（mn-m+2）x+1=0有不相等的正的实数根．
∴m-mn-2＞0，△=（m-2-mn）²-4＞0，
由△＞0化为：（m-mn-4）（1-n）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-mn-4＞0}\\{1-n＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m-mn-4＜0}\\{1-n＜0}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{m-mn-4＞0}\\{1-n＞0}\end{array}\right.$，可得：m＞$\frac{4}{1-n}$＞$\frac{2}{1-n}$，∴m-n＞$\frac{4}{1-n}$-n=g（n），
g′（n）=$\frac{（3-n）（1+n）}{（1-n）^{2}}$，可得：n=-1时，函数g（n）取得极小值即最小值，g（-1）=3．∴λ≤3．
由$\left\{\begin{array}{l}{m-mn-4＜0}\\{1-n＜0}\end{array}\right.$，可得：m＞$\frac{4}{1-n}$＜$\frac{2}{1-n}$，舍去．
综上可得：λ≤3．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．