Question

10．（1）求（$\frac{1}{2}$-x）⁵的展开式中x³的系数及展开式中各项系数之和；
（2）从0，2，3，4，5，6这6个数中任取4个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四位数的个数．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由二项式定理可得（$\frac{1}{2}$-x）⁵的展开式，其中令r=3可得x³的系数，进而在（$\frac{1}{2}$-x）⁵中，令x=1可得其各项系数之和；
（2）根据题意，由于首位数字不能为0，先分析首位数字的可能情况，再在剩下的5个数字中，任选3个，安排在百位、十位、个位，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，（$\frac{1}{2}$-x）⁵中，其展开式T_r+1=C₅^r（$\frac{1}{2}$）^5-r（-x）^r，
则其展开式中x³的系数为T₄=C₅³（$\frac{1}{2}$）²（-1）³=-$\frac{5}{2}$，
在（$\frac{1}{2}$-x）⁵中，令x=1可得其各项系数之和（$\frac{1}{2}$-1）⁵=-$\frac{1}{32}$，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、首位数字不能为0，则首位数字在2，3，4，5，6中选一个，则首位数字有5种情况，
②、在剩下的5个数字中，任选3个，安排在百位、十位、个位，有A₅³=5×4×3=60种情况，
则一共有5×60=300个满足条件的四位数．

点评 本题考查计数原理的应用以及二次项系数的性质，关键是掌握二项式定理．