Question

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表：

x	-2	0	4
f（x）	1	-1	1

f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若f（x²+3x）＜1，则x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由函数y=f′（x）的图象可知：函数f（x）在[-2，0）上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（0，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．通过对a分类讨论即可得出．

解答： 解：由函数y=f′（x）的图象可知：函数f（x）在[-2，0）上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（0，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
当x≥0时，由f（x²+3x）＜1=f（4），可得x²+3x＜4，解得-4＜x＜1，又x≥0，∴0≤x＜1．
当-2≤x＜0时，由f（x²+3x）＜1=f（-2），可得x²+3x＞-2，解得-1＜x，或x＜-2，又-2≤x＜0，
∴-1＜x＜0．
综上可得：x的取值范围是（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式，考查了数形结合的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．