Question

11．已知椭圆C：x²+4y²=4．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）椭圆C的长轴的两个端点分别为A，B，点P在直线x=1上运动，直线PA，PB分别与椭圆C相交于M，N两个不同的点，求证：直线MN与x轴的交点为定点．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的标准方程，则a=2，b=1，则c=$\sqrt{3}$，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；
（2）设P（1，t），由已知条件分别求出M，N的坐标，设定点为Q，再由k_MQ=k_NQ，能证明直线MN经过一定点Q（4，0）．

解答 解：（1）由椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
则a=2，b=1，则c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）证明：∵椭圆C的左，右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，
∴A（-2，0），B（2，0），设P（1，t），
则k_PA=$\frac{t-0}{1+2}$=$\frac{t}{3}$，直线PA：y=$\frac{t}{3}$（x+2），
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{3}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$整理，得（4t²+9）x²+16t²x+16t²-36=0，
-2x_M=$\frac{16{t}^{2}-36}{4{t}^{2}+9}$，则x_M=$\frac{18-8{t}^{2}}{4{t}^{2}+9}$，y_M=$\frac{t}{3}$（x_M+2）=$\frac{12t}{4{t}^{2}+9}$，
则M（$\frac{18-8{t}^{2}}{4{t}^{2}+9}$，$\frac{12t}{4{t}^{2}+9}$），
同理得到N（$\frac{8{t}^{2}-2}{4{t}^{2}+1}$，$\frac{4t}{4{t}^{2}+1}$）…（8分）
由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴，
不妨设这个定点为Q（m，0），…10分
又k_MQ=$\frac{\frac{12t}{4{t}^{2}+9}}{\frac{18-8{t}^{2}}{4{t}^{2}+9}-m}$，k_NQ=$\frac{\frac{4t}{4{t}^{2}+1}}{\frac{8{t}^{2}-2}{4{t}^{2}+1}-m}$，
∵k_MQ=k_NQ，
∴（8m-32）t²-6m+24=0，m=4．
∴直线MN经过一定点Q（4，0），
直线MN与x轴的交点为定点Q（4，0）．

点评 本题考查椭圆方程的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．