Question

1．如图，设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OD}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，AD与BC交于点E，试用$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OE}$．

Answer 1

分析 根据A，D，E三点共线，B，C，E三点共线列出方程求出$\overrightarrow{CE}$，得出$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$．

解答 解：$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}$=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$，
设$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CB}$=-$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CE}$=$\frac{2+λ}{3}$$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$．
∵A，D，E三点共线，∴存在k≠0，使得$\overrightarrow{EA}=k\overrightarrow{DA}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+λ}{3}=k}\\{-λ=-\frac{k}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{11}}\\{k=\frac{8}{11}}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{CE}$=-$\frac{2}{33}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{33}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，三点共线原理的应用，属于中档题．