Question

6．小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A-BCD中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B-AC-D的大小为θ，则cosθ=$\frac{f（λ）-cosαcosβ}{sinαsinβ}$，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=cosγ．

Answer 1

分析 在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B-AC-D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，把BC，CD，BD用含有α，β，γ及a，b的代数式表示，利用余弦定理得答案．

解答 解：如图，
在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B-AC-D的平面角，大小为θ，
设AB=a，AD=b，则BC=asinα，CD=bsinβ，BD²=a²+b²-2abcosγ，
∴在△BCD中，cosθ=$\frac{{a}^{2}si{n}^{2}α+{b}^{2}si{n}^{2}β-{a}^{2}-{b}^{2}+2abcosγ}{2asinα•bsinβ}$=$\frac{2abcosγ-{a}^{2}co{s}^{2}α-{b}^{2}co{s}^{2}β}{2absinαsinβ}$．
在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，
∴a²cos²α=b²cos²β=AC²，∴a²cos²α+b²cos²β=2AC²=2abcosαcosβ，
∴$cosθ=\frac{2abcosγ-2abcosαcosβ}{2absinαsinβ}=\frac{cosγ-cosαcosβ}{sinαsinβ}$．
∴f（γ）=cosγ．
故答案为：cosγ．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查三角形的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．