Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x-4）=-f（x），给出下列结论：
①若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=4，则f（x₁）+f（x₂）＞0；
②若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=5，则f（x₁）＞f（x₂）；
③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的实根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=-8或8；
④函数f（x）在[-8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点
其中结论正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：先由“f（x）是奇函数且f（x-4）=-f（x）”转化得到f（x-8）=f（x），即函数f（x）为周期8的周期函数，然后按照条件↓

解答： 解：∵f（x）是奇函数且f（x-4）=-f（x），
∴f（x-8）=-f（x-4）=f（x），f（0）=0
∴函数f（x）为周期8的周期函数，根据题意可画出这样的图形：如图所示，

∵定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，
∴在（-2，0]上是增函数，
即（-2，2）上是增函数，
①若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=4，则0＜x₁＜2，2＜x₂＜4，0＜4-x₂＜2，-2＜x₂-4＜0，
∴f（4-x₂）＞f（x₂-4），
又∵f（x₁）=f（4-x₂），-f（x₂）=f（x₂-4），
∴f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）+f（x₂）＞0，故①正确；
②若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=5，则0＜x₁＜

5

2

，

5

2

＜x₂＜5，观察可知f（x₁）＞f（x₂），故②正确；
③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的实根x₁，x₂，x₃，x₄，当m＞0时（如上方虚线所示），可知
左边两个交点之和为-12（因为两个交点关于-6对称，一个交点可表示为-6-x₀，另一个交点可表示为-6+x₀），y轴右边的两个交点之和为4，则x₁+x₂+x₃+x₄=-8，同理m＜0时x₁+x₂+x₃+x₄=8，故③正确；
④函数f（x）在[-8，8]内有5个零点，故④不正确，
结论正确的有①②③，
故选：C

点评：本题主要考查函数奇偶性周期性和单调性的综合运用，综合性较强题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的性质，解答此题的关键在于由已知等式得到函数对称轴方程和周期，属中档题