Question

2．已知数列{a_n}满足：a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，n∈N^*，其前n项和为S_n．
（1）求证：①数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是等差数列；
②对任意的正整数n，都有S_n＞$\frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}$；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足：$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$+16n²-8n-3．试确定b₁的值，使得数列{b_n}为等差数列．

Answer 1

分析 （1）利用后项与前项做差为常数即可证得数列为等差数列，对所得的通项公式进行放缩后求和可证得题中不等式的结论；
（2）利用题意结合等差数列前n项和的特点和等差数列的性质得到等差数列的通项公式，然后求解首项即可．

解答 证明：（1）①因为$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+4}$，所以$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}=4$，
故数列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$ 是首项为1，公差为4的等差数列；
②由①得$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}=1+（n-1）×4$，又易得a_n＞0，故 ${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{4n-3}}$，
因为${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{4n-3}}＞\frac{2}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}=\frac{\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-3}}{2}$，
所以${S}_{n}＞\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{2}+…+\frac{\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-3}}{2}=\frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}$；
（2）由$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n}^{2}}=\frac{{T}_{n}}{{a}_{n+1}^{2}}+16{n}^{2}-8n-3$ 得，（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
即 $\frac{{T}_{n+1}}{4n+1}-\frac{{T}_{n}}{4n-3}=1$，所以数列 $\{\frac{{T}_{n}}{4n-3}\}$是以b₁为首项，1为公差的等差数列，
从而 $\frac{{T}_{n}}{4n-3}{=b}_{1}+n-1$，
令n=2，3得，b₂=4b₁+5，b₃=4b₁+13，
若{b_n}为等差数列，则2b₂=b₁+b₃，
所以2（4b₁+5）=b₁+4b₁+13，解得b₁=1，
此时，T_n=4n²-3n，b_n=8n-7恰为等差数列，
所以，当b₁=1时，数列{b_n}为等差数列．

点评 本题考查等差数列的判断，等差数列前n项和的特点，等差数列通项公式的天天等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．