Question

13．设数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a_n=4$+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，若对于任意的n∈N*，都有1≤x（S_n-4n）≤3恒成立，则实数x的取值范围是[1，6]．

Answer 1

分析 由已知数列通项公式利用分组求和可得S_n，代入1≤x（S_n-4n）≤3，分离参数x，然后利用数列的函数特性求出最值得答案．

解答 解：由a_n=4$+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，得
S_n=a₁+a₂+…+a_n=4n+[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$-…+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]
=4n+$\frac{1×[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$=4n+$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
∴S_n-4n=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$＞0，
则由1≤x（S_n-4n）≤3恒成立，得
$\frac{1}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}≤x≤\frac{3}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$．
当n=1时，$\frac{1}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$有最小值为1；
当n=2时，$\frac{3}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$有最大值为6．
∴实数x的取值范围是[1，6]．
故答案为：[1，6]．

点评 本题是数列与不等式的综合题，考查了等比数列前n项和的求法，考查数列的函数特性，是中档题．