Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，C到AB的距离大于1，AA₁=AB=2，D为BB₁的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₁．
（1）求证：CD⊥DE；
（2）设二面角A₁-AC₁-B₁的正切值为

14

，求异面直线AB₁与CD的夹角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁B，记A₁B与AB₁的交点为F，作CG⊥AB，G为垂足，连接DG，由此利用三垂线定理，能证明DE⊥CD．
（2）由DG∥AB₁，知∠CDG为异面直线AB₁与CD的夹角或其补角，由此能求出异面直线AB₁与CD的夹角的大小．

解答： （1）证明：连接A₁B，记A₁B与AB₁的交点为F．
作CG⊥AB，G为垂足，
因为面AA₁BB₁为正方形，故A₁B⊥AB₁，且AF=FB₁，
又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，
又D为BB₁的中点，故DE∥BF，DE⊥AB₁．
由AC=BC知，G为AB中点．
又由底面ABC⊥面AA₁B₁B．
连接DG，则DG∥AB₁，故DE⊥DG，
由三垂线定理，得DE⊥CD．
（2）解：由（1）知因为DG∥AB₁，
故∠CDG为异面直线AB₁与CD的夹角或其补角．
因为AB=2，则AB₁=2

2

，DG=

2

．作B₁H⊥A₁C₁，H为垂足，
因为底面A₁B₁C₁⊥面AA₁CC₁，故B₁H⊥面AA₁C₁C．
又作HK⊥AC₁，K为垂足，
连接B₁K，由三垂线定理，得B₁K⊥AC₁，
因此∠B₁KH为二面角A₁-AC₁-B₁的平面角．
由tan∠B1KH=

B1H

HK

=

14

，
取A₁B₁的中点G₁，连结C₁G₁，
设CG=x，则C₁G₁=CG=x，A1C1=

x2+1

，C₁G₁•A₁B₁=A₁C₁•B₁H，
∴B1H=

2x

A1C1

=

2x

x2+1

，
∴HK=

B1H

4

=

x

2 x2+1

，C1H=

B1C12-C1H2

=

x2+1- 4x2 x2+1

，
又△C₁HK∽△C₁AA₁，∴

HK

AA1

=

C1H

C1A

，

HK

2

=

C1H

x2+5

，
∴13x⁴-33x²+14=0，解得x=

2

，或x=

7 13

（舍）
∴CG=

2

，tan∠CGD=1，∴∠CDG=45°，
∴异面直线AB₁与CD的夹角的大小为45°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线AB₁与CD的夹角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．