Question

20．在上海世界博览会开展期间，计划选派部分高二学生参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且答对一题得1分，答错一题扣1分，至少得2分才能入选成为宣传员；甲乙丙三名同学报名参加测试，他们答对每个题的概率都为$\frac{1}{3}$，且每个人答题相互不受影响．
（1）用随机变量ξ表示能够成为宣传员的人数，求ξ的数学期望与方差；
（2）若学生甲得分的数值为随机变量η，求所得分数η的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）每个同学通过测试需得（2分）或（4分），即答对3道或4道试题．利用二项分布概率计算公式即可得出概率．由每个人答题相互不受影响，可得三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传员的概率均为$\frac{1}{9}$，故为独立重复试验，又随机变量ξ表示能够成为宣传员的人数，即3次独立重复试验中发生ξ次的概率，因此随即变量ξ满足二项分布，ξ～B$（3，\frac{1}{9}）$．
（2）所得分数η的所有取值为-4，-2，0，2，4．利用二项分布列即可得出．

解答 解：（1）每个同学通过测试需得（2分）或（4分），即答对3道或4道试题．
所以$P=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}×（1-\frac{1}{3}）+{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{9}$；
∵每个人答题相互不受影响，∴三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传员的概率均为$\frac{1}{9}$，故为独立重复试验，又随机变量ξ表示能够成为宣传员的人数，即3次独立重复试验中发生ξ次的概率，∴随即变量ξ满足二项分布，$ξ\～B（3，\frac{1}{9}）$，
∴$Eξ=3×\frac{1}{9}=\frac{1}{3}，Dξ=3×\frac{1}{9}×（1-\frac{1}{9}）=\frac{8}{27}$．
（2）所得分数η的所有取值为-4，-2，0，2，4．
$P（ξ=-4）={（1-\frac{1}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，$P（ξ=-2）=C_4^1×\frac{1}{3}×{（1-\frac{1}{3}）^3}=\frac{32}{81}$，$P（ξ=0）=C_4^2×{（\frac{1}{3}）^2}×{（1-\frac{1}{3}）^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$，$P（ξ=2）=C_4^3×{（\frac{1}{3}）^3}×{（1-\frac{1}{3}）^{\;}}=\frac{8}{81}$，$P（ξ=4）={（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{81}$．

η	-4	-2	0	2	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

$Eη=（-4）×\frac{16}{81}+（-2）×\frac{32}{81}+0×\frac{8}{27}+2×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}=-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了二项分布列的概率计算与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．