Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率公式及焦距，即可求得a和c的值，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）①将直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及直线的斜率公式，求得2m²-4k²=3．由弦长公式及点到直线的距离公式，求得丨AB丨及d，根据三角形的面积公式，化简即可求得△AOB的面积为定值；
②假设存在点P，得四边形OAPB为平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，即可求得P点坐标，代入椭圆方程，求得4m²=3+4k²，联立2m²-4k²=3．解得方程组无解，则不存在点P使OAPB为平行四边形．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，焦距2c=2，则c=1，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①证明：设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），则A，B的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
=k²×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²，
=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
由k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$．$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，即y₁y₂=-$\frac{3}{4}$x₁x₂，
∴$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，即2m²-4k²=3．
∵丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\sqrt{\frac{48（4{k}^{2}-{m}^{2}+3）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$．
O到直线y=kx+m的距离d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}×\frac{2（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{2}×\frac{24}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．为定值．
∴△AOB的面积为定值；
②若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，设P（x₀，y₀），
则x₀=x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
由于P在椭圆上，则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，从而化简得$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{12{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}=1$，即4m²=3+4k²，
由k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，知2m²-4k²=3．
$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}=3+4{k}^{2}}\\{2{m}^{2}-4{k}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得方程组无解，
故不存在点P使OAPB为平行四边形．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式及点到直线的距离公式，考查向量加法，考查计算能力，是高考试卷中的压轴题，属于难题．