Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ax+1（a∈R）．
（1）当x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件“f（x）在x=1处取得极值”可得f′（1）=0，解方程即可；
（2）先求导数f′（x），然后讨论a的值，判断f′（x）的正负，进而得到f（x）在[0，1]上的单调性，即可得到f（x）在[0，1]上的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=x²-a，
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，解得a=1；
（2）f′（x）=x²-a，
①当-a≥0，即a≤0时，f′（x）=x²≥0，
则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
所以f（x）在[0，1]上是增函数，
故f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；
②当-a＜0，即a＞0时，
由f′（x）=x²-a＞0，得x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$，所以f（x）的单调增区间为（-∞，-$\sqrt{a}$）和（$\sqrt{a}$，+∞）；
由f′（x）=x²-a＜0得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，所以f（x）的单调减区间为（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）；
所以当a≥1时，f（x）在[0，1]上单调递减，
所以f（x）的最小值为f（1）=$\frac{4}{3}$-a；
当0＜a＜1时，f（x）在[0，$\sqrt{a}$）上单调递减，在（$\sqrt{a}$，1]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{a}$）³-a$\sqrt{a}$+1=1-$\frac{2}{3}$a$\sqrt{a}$；
综上所述，当a≤0时，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{a}$）³-a$\sqrt{a}$+1=1-$\frac{2}{3}$a$\sqrt{a}$；
当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=$\frac{4}{3}$-a．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．