Question

13．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）连结A₁B，求二面角A₁-DB-E的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC交BD于点F，推导出BD⊥AC，BD⊥A₁C，连结EF交A₁C于点G，推导出Rt△A₁AC∽Rt△FCE，由此能证明A₁C⊥平面BED．
（Ⅱ）连结A₁B，连结A₁F，得到∠A₁FE是二面角A₁-DB-E的平面角，由此能求出二面角A₁-DB-E的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）依题设，AB=2，CE=1．
连结AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A₁C．（3分）
在平面A₁CA内，连结EF交A₁C于点G，
∵$\frac{{A{A_1}}}{FC}=\frac{AC}{CE}=2\sqrt{2}$，
∴Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE与∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
∴A₁C⊥平面BED．（6分）
解：（Ⅱ）连结A₁B，连结A₁F，
∵A₁B=A₁D，DF=FB，∴A₁F⊥BD，
又∵DC=BC，∴EF⊥BD，
∴∠A₁FE是二面角A₁-DB-E的平面角．（8分）
$EF=\sqrt{C{F^2}+C{E^2}}=\sqrt{3}$，$CG=\frac{CE×CF}{EF}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，
又${A_1}C=\sqrt{AA_1^2+A{C^2}}=2\sqrt{6}$，${A_1}G={A_1}C-CG=\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$．
${A_1}F=\sqrt{{A_1}{A^2}+A{F^2}}=\sqrt{16+2}=3\sqrt{2}$．
∴$sin∠{A_1}FG=\frac{{{A_1}G}}{{{A_1}F}}=\frac{{\frac{{5\sqrt{6}}}{3}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
∴二面角A₁-DB-E的正弦值为$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．