Question

4．一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延长线上，α为锐角）．圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100-80sinα米．EO是垂直于AB的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由已知可求直线BC的方程为：xtanα-y-10tanα=0，设圆心E（0，t），（t＞0），由圆E与直线BC相切，可求EO=t=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，令f（α）=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），则f′（α）=$\frac{100（sinα-\frac{9}{10}）}{co{s}^{2}α}$，设sinα₀=$\frac{9}{10}$，α₀∈（0，$\frac{π}{2}$）．列表可求EO的最小值．

解答 （本题满分为14分）
解：如图所示，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．

因为B（10，0），k_BC=tanα，所以直线BC的方程为：y=tanα（x-10），即xtanα-y-10tanα=0．…（4分）
设圆心E（0，t），（t＞0），由圆E与直线BC相切，得100-80sinα=$\frac{|-t-10tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{t+10tanα}{\frac{1}{cosα}}$，
所以EO=t=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，…（8分）
令f（α）=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），则f′（α）=$\frac{100（sinα-\frac{9}{10}）}{co{s}^{2}α}$，…（10分）
设sinα₀=$\frac{9}{10}$，α₀∈（0，$\frac{π}{2}$）．列表如下：

α	（0，α0）	α0	（α0，$\frac{π}{2}$）
f′（α）	-	0	+
f（α）	减	极小值	增

所以当α=α₀，即sin$α=\frac{9}{10}$时，f（α）取最小值．…（13分）
答：当sin$α=\frac{9}{10}$时，立柱EO最矮．…（14分）

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．