Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中对角线AC₁与平面ABCD、平面ABB₁A₁、平面AA₁D₁D上射影所成角分别为θ₁、θ₂，θ₃，求cos²θ₁+cos2θ2+cos2θ3的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长、宽、高分别为a、b、c，则

cos

2 θ1

=

a2+b2

a2+b2+c2

，

cos

2 θ2

=

a2+c2

a2+b2+c2

，

cos

2 θ3

=

b2+c2

a2+b2+c2

．由此能求出

cos

2 θ1

+

cos

2 θ2

+

cos

2 θ3

的值．

解答： 解：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长、宽、高分别为a、b、c，
∵对角线AC₁与平面ABCD、平面ABB₁A₁、平面AA₁D₁D上射影所成角分别为θ₁、θ₂，θ₃，
∴θ₁=∠CAC₁，则cos²θ₁=（

AC

AC1

）²=

a2+b2

a2+b2+c2

，
θ₂=∠C₁AB₁，则cos²θ₂=（

AB1

AC1

）²=

a2+c2

a2+b2+c2

，
θ₃=∠D₁AC₁，则cos²θ₃=（

AD1

AC1

）²=

b2+c2

a2+b2+c2

．
故cos²θ₁+cos2θ2+cos2θ3=

2(a2+b2+c2)

a2+b2+c2

=2．

点评：本题考查三线线面角的余弦值的平方的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、线面角的求解等基础知识的合理运用，意在考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．