Question

18．某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：

价格x（百元）	4	5	6	7	8	9
销量y（件/天）	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为多少；
（Ⅱ）若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A，B购买此商品的概率，而客户C，D购买此商品的概率均为$\frac{1}{2}$，设这4位客户中购买此商品的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：$\sum_{i=1}^{6}$x_iy_i=3050，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=271．
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为多少；
（Ⅱ）由题意可知：X=0，1，2，3，4．求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\overline{x}$=6.5，$\overline{y}$=80，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{3050-6×6.5×80}{271-6×6．{5}^{2}}$=-4，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=80-（-4）×6.5=106，
∴$\stackrel{∧}{y}$=-4x+106，
x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=-40+106+66，即预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为66件；
（Ⅱ）从6天中随机抽取2天的选法有${C}_{6}^{2}$=15种，
至少有1天的价格高于700元的选法有${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}$=9种，∴概率为$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．
由题意，X=0.1.2.3.4．
P（X=0）=（1-0.6）²×（1-0.5）²=0.04，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$×（1-0.6）×（1-0.5）²+${C}_{2}^{1}$×（1-0.6）²×0.5×（1-0.5）=0.2，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}$×0.6×${C}_{2}^{1}$×0.5×（1-0.5）+0.6²×（1-0.5）²+（1-0.6）²×0.5²=0.37，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}$×0.6×（1-0.6）×0.5²+${C}_{2}^{1}$×0.6²×0.5×（1-0.5）=0.3，
P（X=4）=0.6²×0.5²=0.09．
X的分布列

X	0	1	2	3	4
P	0.04	0.2	0.37	0.3	0.09

故E（X）=0×0.04+1×0.2+2×0.37+3×0.3+4×0.09=2.2．

点评 本题考查了独立性检验知识的运用，考查分布列及数学期望，属于中档题．