Question

已知

sinα-cosα

sinα+cosα

=

1

3

，求cos⁴（

π

3

+α）-cos⁴（

π

6

-α）．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：根据三角函数的诱导公式进行化简即可．

解答： 解：cos⁴（

π

3

+α）-cos⁴（

π

6

-α）=cos⁴（

π

3

+α）-sin⁴（

π

3

+α）=[cos²（

π

3

+α）+sin²（

π

3

+α）][cos²（

π

3

+α）-sin²（

π

3

+α）]
=cos²（

π

3

+α）-sin²（

π

3

+α）=cos（

2π

3

+2α）=2cos²（

π

3

+α）-1．
由

sinα-cosα

sinα+cosα

=

1

3

，得sinα=2cosα，解得cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，或cos=-

5

5

，sinα=-

2 5

5

，
若cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，则cos（

π

3

+α）=cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα=

1

2

×

5

5

-

3

2

×

2 5

5

=

5 (1-2 3 )

10

，
若cos=-

5

5

，sinα=-

2 5

5

，则cos（

π

3

+α）=cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα=-

1

2

×

5

5

-

3

2

×（-

2 5

5

）=-

5 (1-2 3 )

10

，
则2cos²（

π

3

+α）-1=2（±

5 (1-2 3 )

10

）²-1=

1-2 3

5

．

点评：本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用余弦函数的倍角公式已经两角和差的余弦公式是解决本题的关键．