Question

11．设函数f（x）=x²-2klnx（k＞0）．
（Ⅰ）当k=4时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）定义域是（0，+∞），${f}^{'}（x）=2x-\frac{8}{x}=\frac{2{x}^{2}-8}{x}$，令f′（x）=0，得x=1或x=-2（舍），列表讨论，能求出f（x）的单调区间和极值．
（Ⅱ）f（x）的最小值为f（$\sqrt{k}$）=k-klnk，若函数有零点，则有f（$\sqrt{k}$）≤0，解得k≥e，此时函数f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上有一个零点，当k＜e时，函数f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上没有零点．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-2klnx（k＞0），
∴f（x）定义域是（0，+∞），${f}^{'}（x）=2x-\frac{8}{x}=\frac{2{x}^{2}-8}{x}$，
令f′（x）=0，得x=1或x=-2（舍），列表如下：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），
函数在x=2处取得极小值f（2）=4-8ln2，无极大值．
（Ⅱ）由（1）知f（x）的最小值为f（$\sqrt{k}$）=k-klnk，
若函数有零点，则有f（$\sqrt{k}$）≤0，解得k≥e，
当k≥e时，函数f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上单调递减，
又f（1）=1＞0，f（$\sqrt{e}$）=e-k≤0，
∴函数f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上有一个零点，
当k＜e时，函数f（x）的最小值为正数，∴函数f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上没有零点．

点评 本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查函数在闭区间上的零点个数的讨论，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．