如图:在边长为6米的等边△ABC钢板内.作一个△DEF.使得△DEF的三边到△ABC所对应的三边之间的距离均x(0＜x＜$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$)米.过点D分别向AB.AC边作垂线.垂足依次为G.H,过点E分别向AB.BC边作垂线.垂足依次为M.N,过点F分别向BC.AC边作垂线.垂足依次为R.S．接着在△ABC的三个内� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

如图：在边长为6米的等边△ABC钢板内，作一个△DEF，使得△DEF的三边到△ABC所对应的三边之间的距离均x（0＜x＜$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）米，过点D分别向AB，AC边作垂线，垂足依次为G，H；过点E分别向AB，BC边作垂线，垂足依次为M，N；过点F分别向BC，AC边作垂线，垂足依次为R，S．接着在△ABC的三个内角处，分别沿DG，DH、EM，EN、FR，FS进行切割，割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS．然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折，并对翻折后的钢板进行无缝焊接（注：切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计），从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池．
（1）若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a（a＞0）万元/米²，求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值；
（2）若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米³，求体积V的最大值．

分析（1）连接BE，求出EN，设此无盖长方体蓄水池的总造价为y（万元），写出y的表达式，然后求解最小值．（2）写出无盖长方体蓄水池的体积，利用公式的导数，判断函数的单调性求解最值即可．

解答（本小题满分16分）
解：（1）连接BE，由题意可知，在RT△BEN中，
∵EN=x（米），∠EBN=30°
∴$tan{30^0}=\frac{EN}{BN}$，即$BN=\sqrt{3}x（米）$，…（2分）
即正△DEF的边长为$6-2\sqrt{3}x（米）$，…（3分）
若设此无盖长方体蓄水池的总造价为y（万元），
则$y=[\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（6-2\sqrt{3}x）^2}+3（6-2\sqrt{3}x）•x]•a$（$0＜x≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）…（5分）
=[$-3\sqrt{3}{x^2}+9\sqrt{3}$]•a
当$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（m）$时，${y_{min}}=5\sqrt{3}a$（万元）
即此无盖长方体蓄水池总造价的最小值为$5\sqrt{3}a$（万元）…（8分）
（2）由题意可知，此无盖长方体蓄水池的体积为：
$V=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{6-2\sqrt{3}x}）^2}•x=\sqrt{3}（{3{x^3}-6\sqrt{3}{x^2}+9x}）$（$0＜x≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$），…（10分）
则V'=$\sqrt{3}（{9{x^2}-12\sqrt{3}x+9}）=3\sqrt{3}（{\sqrt{3}x-3}）（{\sqrt{3}x-1}）$，
令V'=0，并解之得$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，x=\sqrt{3}∉（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$，…（12分）
当$x∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$时，V'＞0，即函数V（x）在$x∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$为单调递增函数，
当$x∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$时，V'＜0，即函数V（x）在$x∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$为单调递减函数，
则当$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（米）$时，${V_{max}}=4（{米^3}）$，…（15分）
即此无盖长方体蓄水池的体积V的最大值为4（m³）． …（16分）

点评本题考查函数与方程的应用，函数的最值，函数的导数与函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．

练习册系列答案

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运动时间（单位：小时）	$[0，\frac{1}{6}）$	$[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}）$	$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$	$[\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$	$[\frac{2}{3}，\frac{5}{6}）$	$[\frac{5}{6}，1）$
总人数	10	18	22	25	20	5

将学生日均课外体育运动时间在$[\frac{2}{3}，1）$上的学生评价为“课外体育达标”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表：

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男
女		10	55
合计

（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“课外体育达标”与性别有关？
附：${Χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

参考数据	当Χ²≤2.706时，无充分证据判定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联；
	当Χ²＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
	当Χ²＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
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A．

$\frac{π}{6}$

B．

$\frac{π}{12}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{1}{2}$

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1．

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A．

B．

-1

C．

D．

-4

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A．

$\frac{1}{6}$

B．

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C．

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D．

$\frac{5}{6}$

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A．

B．

$\frac{1}{3}$

C．

-3

D．

$-\frac{1}{3}$

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