Question

已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x)＝6x－2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，S_n)(n∈N^*)在函数y＝f(x)的图象上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a_n＝ (n∈N^*)，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

 (1)由题意可设f(x)＝ax²＋bx＋c，

则f ′(x)＝2ax＋b＝6x－2，∴a＝3，b＝－2，

∵f(x)过原点，∴c＝0，∴f(x)＝3x²－2x.

依题意得S_n＝3n²－2n.n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1时，a₁＝S₁＝1适合上式．

∴a_n＝6n－5(n∈N^*)．

相减得＝6，

∴b_n＝6·2ⁿ(n≥2)．b₁＝2a₁＝2，

∴b_n＝

∴T_n＝2＋6(2²＋2³＋…＋2ⁿ)＝3·2^n＋2－22.