Question

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]内的最大值为g（a），试求y=g（a）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：由已知函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间的位置关系，将a分区间进行讨论，表示出g（a）的表达式，由表达式和a的范围求出g（a）的最大值和最小值．

解答： 解：由已知得二次函数的对称轴为x=

a

2

，
①当

a

2

＞1时，即a＞2时，f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]上是增函数，所以最大值为g（a）=f（1）=-a²-4；
②当

a

2

＜0时，即a＜0时，f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]上是减函数，所以最大值为g（a）=f（0）=-a²-4a；
③当0≤

a

2

≤1时，即0≤a≤2时，f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，

a

2

]上是减函数，在[

a

2

，1]上是减函数，所以最大值为g（a）=f（

a

2

）=-4a；
∴g（a）=

-a2-4，a＞2 -4a，0≤a≤2 -a2-4a，a＜0

，
∴g（a）的最大值为g（-2）=4，没有最小值，
∴g（a）的值域为（-∞，4]．

点评：本题考察了二次函数的最值问题，关键是讨论对称轴与区间的位置关系，得到g（a）的表达式，然后求最大值和最小值．