Question

9．已知命题p：对于任意，函数f（x）=lg（x²-ax+4）恒有意义．命题q：存在x∈[1，4]使得x²-4x+a=0成立，
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p∨q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真命题，根据对数函数成立的条件，即可求实数a的取值范围；
（2）根据复合命题的关系得到p，q都为假命题，然后求解即可．

解答 解：（1）若p是真命题，则x²-ax+4＞0恒成立，
即判别式△=a²-16＜0，得-4＜a＜4，
解集实数a的取值范围是（-4，4）；
（2）若存在x∈[1，4]使得x²-4x+a=0成立，
即存在x∈[1，4]使得x²-4x=-a成立，
设h（x）=x²-4x，
则h（x）=（x-2）²-4，
若x∈[1，4]，
则-4≤h（x）≤0，
由-4≤-a≤0，得0≤a≤4
若p∨q是假命题，
则p，q都是假命题，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥4或a≤-4}\\{a＞4或a＜0}\end{array}\right.$，得a＞4或a≤-4，
即实数a的取值范围是a＞4或a≤-4．

点评 本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先求出简单命题为真命题的参数范围，属于中档题目．