Question

1．解关于x的不等式．
（1）-2x²+4x-3＞0；
（2）12x²-ax＞a²（a∈R）；
（3）$\frac{a（x-1）}{x-2}$＞1（a＞0）．

Answer 1

分析 （1）直接解一元二次不等式求得它的解集．
（2）分类讨论，解一元二次不等式求得它的解集．
（3）把分式不等式等价转化，再分类讨论，求得它的解集．

解答 解：（1）不等式-2x²+4x-3＞0，即2x²-4x+3＜0，由于它的判别式△=16-24=-8＜0，
故它的解集为∅．
（2）由于不等式 12x²-ax＞a²（a∈R），①当a=0时，即 12x² ＞0，故它的解集为{x|x≠0}．
②当a＞0时，它的判别式△=a²+48a²=49a²＞0，不等式即 12x²-ax-a²＞0，
求得12x²-ax-a²=0 的根为 x=$\frac{a}{3}$，和x=-$\frac{a}{4}$，故12x²-ax-a²＞0的解集为{x|x＜-$\frac{a}{4}$，或 x＞$\frac{a}{3}$}．
当a＜0时，它的判别式△=a²+48a²=49a²＞0，不等式即 12x²-ax-a²＞0，
求得12x²-ax-a²=0 的根为 x=$\frac{a}{3}$，和x=-$\frac{a}{4}$，故12x²-ax-a²＞0的解集为{x|x＞-$\frac{a}{4}$，或 x＜$\frac{a}{3}$}．
（3）不等式 $\frac{a（x-1）}{x-2}$＞1，即$\frac{（a-1）x+2-a}{x-2}$＞0，
①若a=1，不等式即$\frac{1}{x-2}$＞0，故它的解集为{x|x＞2}．
②若a＞1，不等式即$\frac{x+\frac{2-a}{a-1}}{x-2}$＞0，$\frac{x-\frac{a-2}{a-1}}{x-2}$＞0，即$\frac{x-（1-\frac{1}{a-1}）}{x-2}$＞0，即（x-2）•[x-（1-$\frac{1}{a-1}$）]＞0，
故它的解集为{x|x＞2，或x＜1-$\frac{1}{a-1}$}．
③若0＜a＜1，不等式即不等式即$\frac{x+\frac{2-a}{a-1}}{x-2}$＜0，即$\frac{x-\frac{a-2}{a-1}}{x-2}$＜0，即（x-2）•（x-$\frac{2-a}{a-1}$）＜0，
由于$\frac{a-2}{a-1}$=1-$\frac{1}{a-1}$＞2，故不等式的解集为{x|2＜x＜$\frac{a-2}{a-1}$}．

点评 本题主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．