Question

11．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=r，整理得到a=b，再利用双曲线的简单性质及离心率公式计算即可．

解答 解：根据题意得：圆心F（c，0），半径为a，双曲线渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即±bx-ay=0，
∵以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，且c²=a²+b²，
∴圆心F到渐近线的距离d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=a，即a=b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．