Question

【题目】如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．

（1）证明：BC1∥平面A1CD
（2）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，

又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，

因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD．

（2）解：因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，

由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，

又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，

设AB=2 ，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，

CD= ，A1D= ，DE= ，A1E=3

故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，

又A1C=2 ，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，

在△A1DC中，DF= = ，EF= = ，

所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE= ．

【解析】（1）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（2）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．