Question

【题目】已知，为常数，函数.

（1）当时，求关于的不等式的解集；

（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；

（3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根.

Answer 1

【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）当时，，分，，三种情况讨论，求不等式的解集；

（2）当时，，其图象的对称轴为.分，，三种情况讨论，即求实数的取值范围；

（3）设.由，得.对于给定的，且，，得在区间上单调，故在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.

（1）当时，.

当，即时，由得或，

不等式的解集为或.

当，即时，恒成立，不等式的解集为.

当，即时，由得或，

不等式的解集为或.

综上，当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

（2）当时，，其图象的对称轴为.

当，即时，在上单调递增，

在上存在零点，，即得.

.

当，即时，在上存在零点，

或或或，

解得或或或或.

.

当，即时，在上单调递减，

在上存在零点，，即得.

.

综上，.

实数的取值范围为.

（3）设.

当给定时，为定值.

,

.

又对于给定的，且，，

在区间上单调，即在区间上单调，

在区间上有且只有一个零点，

即方程在区间内有一个实数根.